מספרים צמודים של מספרים מרוכבים

בהנתן מספר מרוכב [math]\displaystyle{ x+yi }[/math] המספר המרוכב יהיה המספר שיש לו אותו חלק ממשי, וחלק מדומה מנוגד, כלומר [math]\displaystyle{ x-yi }[/math]. נהוג לסמן את הצמוד של המספר [math]\displaystyle{ z }[/math] ב- [math]\displaystyle{ \overline{z} }[/math].

אם נתון מספר מרוכב [math]\displaystyle{ z=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right) }[/math] בהצגה גיאומטרית, אז ההצגה הגיאומטרית של המספר הצמוד שלו תהיה [math]\displaystyle{ r\left(\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\right) }[/math], כלומר הארגומט מחליף סימן.

פעולות עם מספרים צמודים

• סכום: [math]\displaystyle{ \overline{a} + \overline{b} = \overline{a+b} }[/math]
• הפרש: [math]\displaystyle{ \overline{a} - \overline{b} = \overline{a-b} }[/math]
• מכפלה: [math]\displaystyle{ \overline{a} \cdot \overline{b} = \overline{a \cdot b} }[/math]
• צמוד של צמוד: [math]\displaystyle{ \overline{\overline{z}} = z }[/math]

תכונות נוספות של המספר הצמוד

• [math]\displaystyle{ z + \overline{z} = 2Rez }[/math]
• [math]\displaystyle{ z - \overline{z} = 2Imz }[/math]
• [math]\displaystyle{ z \cdot \overline{z} = \left| z \right|^2 }[/math]