מספרים צמודים של מספרים מרוכבים

בהנתן מספר מרוכב [math]\displaystyle{ x+yi }[/math] המספר המרוכב יהיה המספר שיש לו אותו חלק ממשי, וחלק מדומה מנוגד, כלומר [math]\displaystyle{ x-yi }[/math]. נהוג לסמן את הצמוד של המספר [math]\displaystyle{ z }[/math] ב-[math]\displaystyle{ \bar{z} }[/math].

אם נתון מספר מרוכב [math]\displaystyle{ z=r\bigl[\cos(\theta)+i\sin(\theta)\bigr] }[/math] בהצגה גאומטרית, אז ההצגה הגיאומטרית של המספר הצמוד שלו תהיה [math]\displaystyle{ r\bigl[\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\bigr] }[/math], כלומר הארגומט מחליף סימן.

פעולות עם מספרים צמודים

• סכום והפרש: [math]\displaystyle{ \bar{a}\pm\bar{b}=\overline{a\pm b} }[/math]
• מכפלה: [math]\displaystyle{ \bar{a}\cdot\bar{b}=\overline{a\cdot b} }[/math]
• צמוד של צמוד: [math]\displaystyle{ \bar{\bar{z}}=z }[/math]

תכונות נוספות של המספר הצמוד

• [math]\displaystyle{ z+\bar{z}=2\text{Re}(z) }[/math]
• [math]\displaystyle{ z-\bar{z}=2\text{Im}(z) }[/math]
• [math]\displaystyle{ z\cdot\bar{z}=|z|^2 }[/math]