משפטים בגיאומטריה: הבדלים בין גרסאות בדף

→ העריכה הקודמת

משפטים בגיאומטריה (הצגת מקור)

גרסה מ־13:54, 7 באוקטובר 2008

נוספו 8,877 בתים , 7 באוקטובר 2008

←‏משפטים שימושיים בגיאומטריה:

Ran.Rutenberg

admin

664

עריכות

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-===משפטים שימושיים בגיאומטריה:===
+{{דרוש תיקון עריכה}}
-'''משפטי חפיפה:'''
+===משפטי חפיפה===
 הגדרה: משולש חופף למשולש אחר כאשר כל צלעותיהם וכל זוויותיהם שוות בהתאמה.
-* אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שכלואה ביניהן המשולשים חופפים. (משפט חפיפה צ.ז.צ)
+*אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שכלואה ביניהן המשולשים חופפים. (משפט חפיפה צ.ז.צ)
-* אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי זוויות והצלע הכלואה ביניהן המשולשים חופפים. (משפט חפיפה ז.צ.ז.)
+*אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי זוויות והצלע הכלואה ביניהן המשולשים חופפים. (משפט חפיפה ז.צ.ז.)
-* אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן המשולשים חופפים.
+*אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן המשולשים חופפים (משפט חפיפה צ.צ.ז.).
-* אם בשני משולשים שוות בהתאמה שלוש צלעות המשולשים חופפים.
+*אם בשני משולשים שוות בהתאמה שלוש צלעות המשולשים חופפים (משפט חפיפה צ.צ.צ.).
-* במשולשים חופפים מול צלעות שוות זוויות שוות.
-* במשולשים חופפים מול זוויות שוות צלעות שוות.
+*במשולשים חופפים מול צלעות שוות זוויות שוות.
+*במשולשים חופפים מול זוויות שוות צלעות שוות.
+**[[/משולש ישר זווית (משפטים)|משולש ישר זווית]] -
+***אם במשי"ז אחת הזוויות שווה ל30, הצלע שמולה שווה לחצי היתר (ולהפך). משולש זה מכונה "משולש זהב".
+***התיכון ליתר במשי"ז שווה למחצית היתר (ולהפך)
+***[[משפט פיתגורס]] (והמשפט ההפוך לו)
+***הגובה ליתר במשי"ז מחלק אותו לשני משולשים הדומים זה לזה ולמשולש המקורי
+***הגובה ליתר במשי"ז הוא [[ממוצע גיאומטרי|הממוצע הגיאומטרי]] של [[היטל|היטלי]] הניצבים על היתר. (ולהפך)
+***(משפט אוקלידס) - במשי"ז ניצב הוא הממוצע הגיאומטרי של היתר ושל היטלו של הניצב על היתר.
+**קטע אמצעים במשולש -
+***קטע האמצעים מקביל לבסיס ושווה לחצי ממנו.
+***קטע היוצא מאמצע צלע ומקביל לבסיס הינו קטע אמצעים.
+***קטע המקביל לבסיס ושווה למחציתו הינו קטע אמצעים.
+**צלעות וזוויות במשולש והיחסים ביניהן -
+***אם צלע אחת במשולש גדולה/שווה לצלע שנייה, הזווית שמול הראשונה גדולה/שווה לזווית שמול השנייה.
+***השיוויון מתקיים אםם הצלעות שוות.
+***[[אי-שיוויון המשולש]]
+***סכום הזוויות במשולש שווה ל180
+***מסקנה: הזווית החיצונית למשולש שווה לסכום הזוויות הלא צמודות לה במשולש.
+*ישרים חשובים -
+**אנך אמצעי -
+***כל נקודה על אנך אמצעי לקטע נמצאת באותו המרחק משני קצוות הקטע (ולהפך - כל נקודה...)
+***שלושת האנכים האמצעיים במשולש נפגשים בנקודה אחת
+**חוצה זווית -
+***כל נקודה על חוצה זווית A נמצאת במרחק שווה משני שוקי A. (ולהפך - כל נקודה...)
+***שלושת חוצי הזווית במשולש נפגשים בנקודה אחת
+**תיכון -
+***התיכונים במשולש מחלקים זה את זה ביחס של 1:2
+***שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת
+**גובה -
+***הגבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת
+*שטחים -
+**שטח משולש - צלע*גובה לצלע/2
+**שטח מקבילית - צלע*גובה לצלע  (+ציון מקרים פרטיים של מלבן, מעוין וריבוע)
+**שטח דלתון - מכפלת האלכסונים/2 (ציון מעוין כמקרה פרטי)
+**שטח טרפז - ממוצע הבסיסים*הגובה
+**שטח עיגול - R^2*pi
+**היקף עיגול - 2pi*R
+*מרובעים -
+**[[תכונות המקבילית|מקבילית]] -
+***כל זוג זוויות נגדיות במקבילית שווה (ולהפך)
+***כל זוג זוויות סמוכות במקבילית שוות ל-180 מעלות (ולהפך)
+***כל זוג צלעות נגדיות במקבילית שווה (ולהפך)
+***האלכסונים במקבילית חוצים זה את זה (ולהפך)
+***מרובע ששתיים מצלעותיו שוות ומקבילות הוא מקבילית
+***מרובע ששתי זוגות צלעות נגדיות בו מקבילות הוא מקבילית.
-*מול הצלע הגדולה במשולש נמצאת הזווית הגדולה ולהפך.
+**מלבן -
+***האלכסונים במלבן שווים זה לזה (ולהפך, במקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה...)
-*סכום שתי צלעות במשלוש גדול מהצלע השלישית.
+**מעוין -
+***אלכסוני מעוין מאונכים (ולהפך, מקבילית שבה...)
+***אלכסוני מעוין חוצים את זוויותיו (ולהפך, מקבילית שבה...)
-*סכום הזוויות הפנימיות במשולש שווה ל-180.
+**טרפז -
+***אם בטרפז שתי זוויות בסיס שוות, הוא שווה שוקיים.
+***אם אלכסוני הטרפז שווים זה לזה, הוא שווה שוקיים.
+***קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם.
+***קטע היוצא מאמצע שוק אחת ומקביל לבסיס הינו קטע אמצעים.
-*זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה.
+*[[/מעגל (משפטים)|מעגל]] -
+**הגדרה ומשפטים כלליים -
+***על מיתרים שווים נשענות זוויות מרכזיות שוות (ולהפך)
+***למיתרים שווים מתאימות קשתות שוות (ולהפך)
+***על קשתות שוות נשענות זוויות מרכזיות שוות (ולהפך)
+***לזווית הגדולה ביותר מתאימה הקשת הגדולה ביותר והמיתר הגדול ביותר
+***אנך למיתר היוצא ממרכז המעגל חוצה את המיתר ואת הזווית המרכזית הנשענת על המיתר (ולהפך - שתי אפשרויות)
+***מיתרים שווים נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל
+***אם מיתר א' גדול ממרחק ב', מרחקו מהבסיס גדול מזה של מיתר ב'.
-*שלושת האנכים האמצעיים לצלעות המשולש נפגשים בנקודה אחת, והיא מרכז המעגל החוסם את המשולש.
+**זוויות (היקפיות ומרכזיות) במעגל -
+***זווית מרכזית גדולה פי 2 מכל זווית היקפית הנשענת על אותה קשת
+***זווית היקפית ישרה נשענת על הקוטר (ולהפך) - מקרה פרטי של המשפט הקודם
+***כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה הקשת שוות
+***למיתרים שווים מתאימות קשתות שוות וזוויות היקפיות שוות
+***זווית פנימית במעגל שווה לסכום שתי הזוויות ההיקפיות הנשענות על הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית (והמשכיהן)
+***זווית חיצונית שווה להפרש בין הזוויות ההיקפיות הנשענות על הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית
-*שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת,נקודה זו היא מרכז המעגל החסום.
+**[[משיק למעגל (משפטים)|המשיק]] -
+***משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה (ולהפך)
+***שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה
+***קטע המחבר את נקודת החיתוך של שני משיקים למעגל עם מרכז המעגל חוצה את הזווית ביניהם, מאונך למיתר המחבר את נקודות ההשקה וחוצה אותו
+***הזווית בין משיק למיתר במעגל הנפגשים בנקודת ההשקה שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני
+***שני מיתרים במעגל נחתכים כך שמכפלת קטעי האחד שווה למכפלת קטעי האחר
+***אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים שני חותכים למעגל אז מכפלת החותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני
+***אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק (הקטע שבין נקודת ההשקה לחיתוך המשיק והחותך)
-*שלושת התיכונים(חוצי הצלעות במשולש) במשולש נפגשים בנקודה אחת,
+**מצולעים חסומים וחוסמים מעגל
-נקודה זו מחלקת כל תיכון ביחס של 3\1 ל3\2.
+***מרכז המעגל ה''חוסם'' משולש הוא מפגש האנכים האמצעיים לצלעותיו.
+***מרכז המעגל ה''חסום'' במשולש הוא מפגש חוצי הזווית של המשולש
+***בכל מרובע ה''חסום'' במעגל סכום הזוויות הנגדיות הוא 180 מעלות. (ולהפך, מרובע כזה ניתן לחסימה)
+***במרובע ה''חוסם'' מעגל, סכום זוג אחד של צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני. (ולהפך)
+***כל מצולע משוכלל ניתן לחסימה על ידי מעגל
+***כל מצולע משוכלל יכול לחסום מעגל
-*קטע אמצעים במשולש:קטע המחבר אמצעי שתי צלעות ומקביל לצלע השלישית ולמחציתה.
+*פרופורציה ודמיון -
+**משפט תלס, הרחבותיו והמשפטים ההפוכים להם. (קל יותר להסביר באמצעות שרטוט)
-*קטע אמצעים חוצה כל קטע המחבר את קודקוד המשולש לצלע שמולו.
+**דמיון משולשים -
+***משפט דמיון ראשון (צ.ז.צ)
+***משפט דמיון שני (ז.ז)
+***משפט דמיון שלישי (צ.צ.צ)
+***משפט דמיון רביעי (צ.צ.ז)
+***במשולשים דומים היחס בין הגבהים, חוצי הזווית והתיכונים שווה ליחס הדמיון בין המשולשים.
+***היחס בין שטחי משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון בין המשולשים.
+***היחס בין רדיוסי מעגלים ה''חוסמים'' משולשים דומים שווה ליחס הדמיון בין המשולשים.
+***ביחס בין רדיוסי מעגלים ה''חסומים'' במשולשים דומים שווה ליחס הדמיון בין המשולשים.
+**חוצה הזווית -
+***חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית שהוא חוצה ביחס השווה ליחס בין שתי הצלעות האחרות. (ולהפך)
+***חוצה זווית חיצונית למשולש מחלק את הצלע שמול הזווית הפנימית (הצמודה לזווית אותה הוא חוצה) בחלוקה חיצונית השווה ליחס בין צלעות המשולש החוסמות את הזווית הפנימית. (השרטוט ברור יותר)
-[[Category:מתמטיקה]]
+לא מקוטלגים -
+*סכום הזוויות במצולע קמור הוא 180(n-2) כאשר n הוא מספר הצלעות.
+*ישרים מקבילים -
+**זוויות מתאימות ומתחלפות שוות וסכום זוויות חד-צדדיות שווה ל180 מעלות ''אםם'' הישרים מקבילים.
+*קטע מרכזים -
+**קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו
+**נקודת ההשקה של שני מעגלים משיקים נמצאת על קטע המרכזים (אם המעגלים משיקים מבחוץ) או על המשכו (אם הם משיקים מבפנים).

משפטים בגיאומטריה: הבדלים בין גרסאות בדף

משפטים בגיאומטריה (הצגת מקור)

גרסה מ־13:54, 7 באוקטובר 2008

תפריט ניווט

חיפוש