סיכומונה נפתח מחדש לעריכה! על מנת לערוך סיכומים נדרש לפתוח חשבון.

סידרה

מתוך סיכומונה, אתר הסיכומים החופשי.
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, סדרה היא קבוצה סדורה של עצמים, הנקראים איברי הסדרה. בסדרה, כל איבר נקבע בצורה יחידה על פי מיקומו בסדרה, כך שיכולים להיות מספר איברים בעלי ערך זהה. פורמלית, ניתן להגדיר סדרה בתור פונקציה מקבוצת המספרים הטבעיים לקבוצת האיברים שמשמשים כערכי הסדרה. בצורה זו, לכל מספר טבעי מותאם ערך כלשהו (ניתן להתאים את אותו ערך יותר מפעם אחת).

מספר האיברים הכולל בסדרה יכול להיות סופי או אינסופי. סדרה סופית מוגדרת כרשימה סדורה סופית, כלומר פונקציה שתחום ההגדרה שלה הוא קבוצה סופית.

נהוג לסמן סדרה Sid1.png, וכל איבר בסדרה בתור Sid1 (1).png כאשר a הוא סימן המציין את הסדרה שהאיבר שייך אליה, ו-n הוא אינדקס, המציין את מספר האיבר בסדרה. למשל, בסדרה של המספרים הטבעייםSid1 (2).png מתקיים: Sid1 (3).png.

בדרך כלל נהוג להשתמש במספרים הטבעיים כדי לציין את האינדקסים של הסדרה, אולם ניתן להשתמש בכל סוג של מספרים סודרים.

אם אברי הסדרה ניתנים להשוואה, אז אומרים על סדרה שהיא עולה ממש אם מתקיים Sid1 (4).png ושהיא עולה (או "לא יורדת") אם מתקיים Sid1 (5).png. באותו אופן אומרים שהסדרה יורדת ממש אם מתקיים Sid1 (6).png ושהיא יורדת (או "לא עולה") אם מתקיים Sid1 (7).png. בשני המקרים הללו אומרים שהסדרה מונוטונית.

כאשר לסדרה יש אינסוף איברים והטווח שלה הוא מרחב טופולוגי (למשל, הישר הממשי) ניתן לדבר על ההתכנסות שלה. אומרים על סדרה שהיא מתכנסת אם ורק אם קיים לה גבול. סדרה שאיבריה שייכים למרחב מטרי (כגון הישר הממשי) היא סדרה חסומה אם קיים מספר ממשי R כך שמרחקם של אברי הסדרה מנקודה x אינו עולה על R. הסדרה היא סדרת קושי אם ההפרש בין שני אברים שואף לאפס כאשר שני האינדקסים שואפים לאינסוף.

מושג הקשור באופן טבעי למושג הסדרה הוא מושג הטור.

תת סדרה

תת סדרה היא סדרה המכילה, לפי הסדר, איברים השייכים לסדרה אחרת. בצורה פורמלית, אם <Sid1 (8).png היא סדרה, וקיימת סדרה עולה ממש Sid1 (9).png שאבריה הם קבוצה חלקית לקבוצת הסודרים של הסדרה המקורית, אז Sid1 (10).png היא תת סדרה של Sid1 (11).png

לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לכל סדרה ממשית חסומה יש תת סדרה מתכנסת. מנקודת מבט טופולוגית, אפשר לתרגם זאת לטענה שהישר הממשי הוא קומפקטי סדרתית.